PROBLEMAS DE PREFERENCIAS DEL CONSUMIDOR Y RESTRICCION PRESUPUESTARIA

Suponga que un consumidor se enfrenta a unos precios Px= 2€ , Py= 3€ y a una renta monetaria R= 36€. Sus gustos vienen representados por la función de utilidad siguiente: u(x,y) = xy

a) Calcule el equilibrio del consumidor

1) Dibujamos el Mapa de curvas de indiferencia

PRACTICA CON SOLVER

PRACTICA1-GOLDEN RUBY

Ruby Cadena, propietaria y directora de la joyería de diseño "Golden Ruby", desea lanzar en la próxima Navidad tres nuevas líneas de productos:

• El collar Barby, hecho de oro de baja aleación y diamantes sintéticos.
• El anillo Candy, realizado en oro de baja aleación y una esmeralda sintética.
• La pulsera Jessy, que únicamente lleva oro de baja aleación.

Cada collar emplea 0,2 kilos de oro y 8 diamantes, cada pulsera utiliza 0,1 kilos de oro y, cada anillo lleva una esmeralda y utiliza 0,05 kilos de oro.

Ruby desea optimizar la producción de modo que la contribución mensual sea máxima, quiere calcular la cantidad óptima a producir de cada producto teniendo en cuenta que dispone de recursos limitados:

• Oro de baja aleación: 9 Kg/mes
• Mano de obra de fabricación: 10 horas/días, trabajando una media anual de 20 días mes.
• Diamantes sintéticos que lleva el collar Barby: 160 unidades/mes.
• Esmeraldas sintéticas que llevan los anillos Candy: 50 unidades/mes
• La mano de obra disponible, es capaz de fabricar en un mes un máximo de 25 collares, 200 anillos o 100 pulseras, suponiendo que se dedicasen en exclusiva a cada uno de los productos.
• Además, los productos una vez terminados han de pasar por una pulidora, que tiene una capacidad mensual máxima de 100 collares, 130 anillos o 200 pulseras.
  

La contribución que proporciona cada collar, anillo o pulsera es de 25 euros, 10 euros o 5 euros respectivamente.

Pregunta 1: Formular el problema de Ruby y determinar la cantidad óptima a producir de cada producto así como la contribución mensual total.
Vamos a plantear el problema:

Pasamos a resolver mediante SOLVER:

En "Opciones" marcamos "modelo lineal" y "adoptar no negativos"

Le damos a "resolver" y marcamos "utilizar solución SOLVER" y señalamos "Sensibilidad".

Y nos da la como solución:

Pregunta 2. Utilizando el INFORME DE SENSIBILIDAD que hemos calculado con SOLVER, ayuda a Ruby, de forma razonada, a decidir sobre la conveniencia de aceptar alguna de las siguientes ofertas (analizadas independientemente cada una).
2.1.) 6 kilos mensuales de oro de baja aleación a 2,5 €/Kg sobre el precio estándar.


El Precio sombra es "0", esto significa que NO merece la pena aceptar esta oferta porque no estamos utilizando todos los kilos de oro que tenemos a disposición.

2.2.) 2 esmeraldas sintéticas mensuales a 6€/ud. sobre el precio estándar.
Su Precio sombra es ">6" por lo que sí le interesa adquirir estas 2 esmeraldas ya que incrementaría su maximización de beneficio. Por cada esmeralda que más para poder utilizar, el beneficio final aumentará en 6,875€, por lo que estaría dispuesto a comprar esmeraldas siempre y cuando el precio de estas sea inferior a 6,875.

2.3.) Asimismo, existe la posibilidad de pedir a los trabajadores que realicen horas extraordinarias, con las siguientes opciones:
a) 2 horas diarias con prima de 5€/hr.

Dado que 2*Precio sombra (2*3.125€)<2*5€, entonces NO interesa esta opción

b) 1 hora diaria, con un coste de 2,5€/hr.

Como el Precio sombra (3,125) > 2,5€ SI interesa esta opción.

2.4.) En el caso de que, en la solución óptima de alguno de los tres productos no se fabrique, estimar la disminución que sufriría la contribución total si se decidiera producir y vender una unidad al mes del mismo.
Las variables que entran en la solución óptima tienen un Gradiente reducido (o coste de oportunidad) igual a cero se les denomina variables básicas.
Las variables que no entran en la solución óptima tienen costo reducido negativo (<0). Se les denomina variables NO básicas. En este ejercicio las PULSERAS no entraron en el plan final, por lo tanto su costo reducido es de -1,25. Esto significa, que si por alguna razón se introduce a la fuerza una pulsera en la combinación final el valor del programa se reducirá en 1,25€.

COMPROBACIÓN:
Para comprobar este resultado podemos proceder a realizarlo de forma manual. Bastará con introducir una nueva restricción, que el artículo que no se fabrica en la combinación óptima sea igual a 1. Introduciendo esta nueva restricción, recalculamos SOLVER, y la diferencia de la función objetivo que contempla esta nueva restricción con la que no lo hacía será igual a 1.25€.

Planteamos el problema con la nueva restricción:

Introducimos la nueva restriccion en "las restricciones":

Y resolvemos:
Si calculamos la diferencia de la función objetivo obtenida en la pregunta 1 (968,75€) y la obtenida ahora (967,50€) observamos la disminución de 1,25€ que nos indicaba el Gradiente reducido.

LAS PREFERENCIAS Y LA ELECCIÓN DEL CONSUMIDOR

LAS PREFERENCIAS Y LA FUNCIÓN DE UTILIDAD

Es lógico pensar que distintos individuos tendrán diferentes gustos. Una misma cesta de bienes reportará distinta utilidad a un ciudadano que a otro. Una vez conocida esta función de utilidad podremos representar un mapa de curvas de indiferencia (CI). Recordamos que un mapa de indiferencia consiste en un conjunto de curvas de indiferencia, donde todos los puntos situados sobre una misma curva indican combinaciones alternativas de 2 bienes que proporcionan al consumidor igual satisfacción.

SUPUESTOS DE LAS PREFERENCIAS

1) Completitud: el individuo tiene que ser capaz de ordenar las cestas.
2) Monotonía: el individuo prefiere aquella cesta que tiene más bienes que le gustan. (Con este supuesto las CI tendrán pendiente negativa)
3) Transitividad: si A > B, y B > C, entonces A > C (Con este supuesto las CI nunca se cortan)
4) Convexidad. Dadas 2 cestas ( A y B ) de una CI, cualquier cesta comprendida en la recta que las une, es siempre más preferida o indiferente a A y/o B.

UTILIDAD MARGINAL Y RELACIÓN MARGINAL DE SUSTITUCIÓN (RMS2,1)

-Utilidad Marginal (UM): Cuanta utilidad reporta al consumidor la variación en uno de los bienes permaneciendo el otro constante.

UM1= dU(X1,X2)/dX1 UM2= dU(X1,X2)/dX2

-Relación Marginal de Sustitución (RMS2,1): Mide la disposición que tiene el consumidor a renunciar a una cierta cantidad de x2 para obtener unidades adicionales de x1 manteniendo su nivel de satisfacción constante.

RMS2,1 = UM1 / UM2

TIPOS DE FUNCIONES DE UTILIDAD

1) SUSTITUTIVOS PERFECTOS. El individuo siempre esta dispuesto a intercambiar cierta cantidad de uno de los bienes por otra cantidad del otro bien (RMS2,1 constante) manteniendo constante el nivel de satisfacción. Un ejemplo puede ser elegir entre consumir manzanas y peras; si las peras están algo más caras consumo manzanas, y viceversa

U(X1,X2) = aX1 + bX2

2) COMPLEMENTARIOS PERFECTOS. Se consumen ambos bienes en proporciones fijas (en los problemas de este estilo suele aparecer la frase "misma proporción"). Un ejemplo es nº zapatos pie izquierdo y nº zapatos pie derecho. (reporta la misma utilidad tener 4 zapatos del izquierdo y 1 del derecho que tener 1 y 1)
3) COBB-DOUGLAS. La función de utilidad tiene la siguiente forma:

4) CUASI-LINEAL. La función de utilidad tiene la siguiente forma: LINEAL y donde uno de los bienes viene expresado con una función.

Ej: U(X1,X2) = X2 + lnX1

LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA R = p1X1 + p2X2

"R" nos delimita el conjunto presupuestario del individuo. Si consume un par de cestas que se sitúan en la recta presupuestaria, entonces el individuo gasta todo el dinero que posee. Si se queda por debajo no lo gasta todo y por encima no se podrá encontrar ya que, en principio, no podrá gastar más dinero del que tiene.

Veamos las variaciones que se pueden dar en este conjunto presupuestario: