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PROBLEMAS DE PREFERENCIAS DEL CONSUMIDOR Y RESTRICCION PRESUPUESTARIA

Suponga que un consumidor se enfrenta a unos precios Px= 2€ , Py= 3€ y a una renta monetaria R= 36€. Sus gustos vienen representados por la función de utilidad siguiente: u(x,y) = xy

a) Calcule el equilibrio del consumidor

1) Dibujamos el Mapa de curvas de indiferencia

PRACTICA CON SOLVER

PRACTICA1-GOLDEN RUBY

Ruby Cadena, propietaria y directora de la joyería de diseño "Golden Ruby", desea lanzar en la próxima Navidad tres nuevas líneas de productos:

• El collar Barby, hecho de oro de baja aleación y diamantes sintéticos.
• El anillo Candy, realizado en oro de baja aleación y una esmeralda sintética.
• La pulsera Jessy, que únicamente lleva oro de baja aleación.

Cada collar emplea 0,2 kilos de oro y 8 diamantes, cada pulsera utiliza 0,1 kilos de oro y, cada anillo lleva una esmeralda y utiliza 0,05 kilos de oro.

Ruby desea optimizar la producción de modo que la contribución mensual sea máxima, quiere calcular la cantidad óptima a producir de cada producto teniendo en cuenta que dispone de recursos limitados:

• Oro de baja aleación: 9 Kg/mes
• Mano de obra de fabricación: 10 horas/días, trabajando una media anual de 20 días mes.
• Diamantes sintéticos que lleva el collar Barby: 160 unidades/mes.
• Esmeraldas sintéticas que llevan los anillos Candy: 50 unidades/mes
• La mano de obra disponible, es capaz de fabricar en un mes un máximo de 25 collares, 200 anillos o 100 pulseras, suponiendo que se dedicasen en exclusiva a cada uno de los productos.
• Además, los productos una vez terminados han de pasar por una pulidora, que tiene una capacidad mensual máxima de 100 collares, 130 anillos o 200 pulseras.
  

La contribución que proporciona cada collar, anillo o pulsera es de 25 euros, 10 euros o 5 euros respectivamente.

Pregunta 1: Formular el problema de Ruby y determinar la cantidad óptima a producir de cada producto así como la contribución mensual total.
Vamos a plantear el problema:

Pasamos a resolver mediante SOLVER:

En "Opciones" marcamos "modelo lineal" y "adoptar no negativos"

Le damos a "resolver" y marcamos "utilizar solución SOLVER" y señalamos "Sensibilidad".

Y nos da la como solución:

Pregunta 2. Utilizando el INFORME DE SENSIBILIDAD que hemos calculado con SOLVER, ayuda a Ruby, de forma razonada, a decidir sobre la conveniencia de aceptar alguna de las siguientes ofertas (analizadas independientemente cada una).
2.1.) 6 kilos mensuales de oro de baja aleación a 2,5 €/Kg sobre el precio estándar.


El Precio sombra es "0", esto significa que NO merece la pena aceptar esta oferta porque no estamos utilizando todos los kilos de oro que tenemos a disposición.

2.2.) 2 esmeraldas sintéticas mensuales a 6€/ud. sobre el precio estándar.
Su Precio sombra es ">6" por lo que sí le interesa adquirir estas 2 esmeraldas ya que incrementaría su maximización de beneficio. Por cada esmeralda que más para poder utilizar, el beneficio final aumentará en 6,875€, por lo que estaría dispuesto a comprar esmeraldas siempre y cuando el precio de estas sea inferior a 6,875.

2.3.) Asimismo, existe la posibilidad de pedir a los trabajadores que realicen horas extraordinarias, con las siguientes opciones:
a) 2 horas diarias con prima de 5€/hr.

Dado que 2*Precio sombra (2*3.125€)<2*5€, entonces NO interesa esta opción

b) 1 hora diaria, con un coste de 2,5€/hr.

Como el Precio sombra (3,125) > 2,5€ SI interesa esta opción.

2.4.) En el caso de que, en la solución óptima de alguno de los tres productos no se fabrique, estimar la disminución que sufriría la contribución total si se decidiera producir y vender una unidad al mes del mismo.
Las variables que entran en la solución óptima tienen un Gradiente reducido (o coste de oportunidad) igual a cero se les denomina variables básicas.
Las variables que no entran en la solución óptima tienen costo reducido negativo (<0). Se les denomina variables NO básicas. En este ejercicio las PULSERAS no entraron en el plan final, por lo tanto su costo reducido es de -1,25. Esto significa, que si por alguna razón se introduce a la fuerza una pulsera en la combinación final el valor del programa se reducirá en 1,25€.

COMPROBACIÓN:
Para comprobar este resultado podemos proceder a realizarlo de forma manual. Bastará con introducir una nueva restricción, que el artículo que no se fabrica en la combinación óptima sea igual a 1. Introduciendo esta nueva restricción, recalculamos SOLVER, y la diferencia de la función objetivo que contempla esta nueva restricción con la que no lo hacía será igual a 1.25€.

Planteamos el problema con la nueva restricción:

Introducimos la nueva restriccion en "las restricciones":

Y resolvemos:
Si calculamos la diferencia de la función objetivo obtenida en la pregunta 1 (968,75€) y la obtenida ahora (967,50€) observamos la disminución de 1,25€ que nos indicaba el Gradiente reducido.

LAS PREFERENCIAS Y LA ELECCIÓN DEL CONSUMIDOR

LAS PREFERENCIAS Y LA FUNCIÓN DE UTILIDAD

Es lógico pensar que distintos individuos tendrán diferentes gustos. Una misma cesta de bienes reportará distinta utilidad a un ciudadano que a otro. Una vez conocida esta función de utilidad podremos representar un mapa de curvas de indiferencia (CI). Recordamos que un mapa de indiferencia consiste en un conjunto de curvas de indiferencia, donde todos los puntos situados sobre una misma curva indican combinaciones alternativas de 2 bienes que proporcionan al consumidor igual satisfacción.

SUPUESTOS DE LAS PREFERENCIAS

1) Completitud: el individuo tiene que ser capaz de ordenar las cestas.
2) Monotonía: el individuo prefiere aquella cesta que tiene más bienes que le gustan. (Con este supuesto las CI tendrán pendiente negativa)
3) Transitividad: si A > B, y B > C, entonces A > C (Con este supuesto las CI nunca se cortan)
4) Convexidad. Dadas 2 cestas ( A y B ) de una CI, cualquier cesta comprendida en la recta que las une, es siempre más preferida o indiferente a A y/o B.

UTILIDAD MARGINAL Y RELACIÓN MARGINAL DE SUSTITUCIÓN (RMS2,1)

-Utilidad Marginal (UM): Cuanta utilidad reporta al consumidor la variación en uno de los bienes permaneciendo el otro constante.

UM1= dU(X1,X2)/dX1 UM2= dU(X1,X2)/dX2

-Relación Marginal de Sustitución (RMS2,1): Mide la disposición que tiene el consumidor a renunciar a una cierta cantidad de x2 para obtener unidades adicionales de x1 manteniendo su nivel de satisfacción constante.

RMS2,1 = UM1 / UM2

TIPOS DE FUNCIONES DE UTILIDAD

1) SUSTITUTIVOS PERFECTOS. El individuo siempre esta dispuesto a intercambiar cierta cantidad de uno de los bienes por otra cantidad del otro bien (RMS2,1 constante) manteniendo constante el nivel de satisfacción. Un ejemplo puede ser elegir entre consumir manzanas y peras; si las peras están algo más caras consumo manzanas, y viceversa

U(X1,X2) = aX1 + bX2

2) COMPLEMENTARIOS PERFECTOS. Se consumen ambos bienes en proporciones fijas (en los problemas de este estilo suele aparecer la frase "misma proporción"). Un ejemplo es nº zapatos pie izquierdo y nº zapatos pie derecho. (reporta la misma utilidad tener 4 zapatos del izquierdo y 1 del derecho que tener 1 y 1)
3) COBB-DOUGLAS. La función de utilidad tiene la siguiente forma:

4) CUASI-LINEAL. La función de utilidad tiene la siguiente forma: LINEAL y donde uno de los bienes viene expresado con una función.

Ej: U(X1,X2) = X2 + lnX1

LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA R = p1X1 + p2X2

"R" nos delimita el conjunto presupuestario del individuo. Si consume un par de cestas que se sitúan en la recta presupuestaria, entonces el individuo gasta todo el dinero que posee. Si se queda por debajo no lo gasta todo y por encima no se podrá encontrar ya que, en principio, no podrá gastar más dinero del que tiene.

Veamos las variaciones que se pueden dar en este conjunto presupuestario:

ELASTICIDAD

ELASTICIDAD PRECIO DE LA DEMANDA

El grado en que la cantidad demandada responde a las variaciones en el precio del propio bien se conoce como sensibilidad de la demanda. El lector no debe intentar comparar dos curvas sin asegurarse de que las escalas son las mismas, además, no se debe llegar a conclusiones sobre la sensibilidad de la cantidad demandada basándose en la aparente inclinación de una curva.

La elasticidad precio de la demanda se define como el cambio porcentual en la cantidad demandada dividido por el cambio porcentual en el precio que la ocasiona.

Esta elasticidad es la más utilizada y en muchas ocasiones se habla simplemente de ELASTICIDAD DE DEMANDA o incluso de ELASTICIDAD.

Si trabajamos esta fórmula de variaciones, podremos dividir la elasticidad en 2 partes; la derivada de la cantidad demandada respecto al precio (relacionado con la pendiente de la curva) y el cociente "p/Q" (relacionado con la situación en la curva en la que estamos realizando nuestra medición)



Dado que lo normal es que la curva de demanda tenga pendiente negativa, el precio y la cantidad varian en direcciones opuestas. Un cambio será positivo y el otro negativo, haciendo negativa la elasticidad de la demanda. Es una práctica universal al comparar dos elasticidades confrontar sus valores absolutos y no los algebraicos. Por ejemplo, si el bien X tiene una elasticidad de -2 mientras que el bien Y tiene una elasticidad de -10, los economistas dirán que Y tiene una elasticidad mayor que la de X.


ELASTICIDAD RENTA

La sensibilidad de la demanda de un bien a cambios en la renta se denomina ELASTICIDAD RENTA DE LA DEMANDA.

ELASTICIDAD CRUZADA

La sensibilidad de la demanda de un bien a cambios en los precios de otro bien se denomina ELASTICIDAD CRUZADA de la demanda.

DEMANDA Y OFERTA

DEMANDA

La cantidad de un artículo que los consumidores desearían comprar se denomina cantidad demandada. Se trata de una cantidad deseada. Consiste en la cantidad que los consumidores desean comprar y no necesariamente en la que acabarán comprando realmente.

Los determinantes de la cantidad demandada. 5 variables importantes tienen influencia en la cantidad de cada mercancía demandada por cada economía individual:

1. El precio del bien
2. Los precios de los demás bienes
3. La renta y riqueza del consumidor
4. Varios factores "socioloógicos"
5. Los gustos o preferencias del consumidor

Lo normal que suceda es que cuanto más bajo sea el precio de un bien, mayor será la cantidad demandada, permaneciendo lo demás constante. De ahí la pendiente negativa de la función de demanda.

OFERTA


La cantidad de un bien que las empresas quieren y pueden ofrecer a la venta se denomina cantidad ofrecida.

Los determinantes de la cantidad ofrecida . 4 variables importantes tienen influencia en la cantidad ofrecida en un mercado particular:

1. El precio del bien
2. El precio de los factores de producción
3. Los objetivos de las empresas productoras
4. El estado de la tecnología

Lo normal que suceda es que cuanto más alto sea el precio de un bien, mayor será la cantidad ofrecida, permaneciendo lo demás constante. De ahí la pendiente positiva de la función de oferta.

Ejercicio. Hay 10.000 individuos idénticos en el mercado del artículo X cada uno con una función de demanda dada por qd(X)=12-1P(X), y 1.000 productores idénticos de X cada uno con una función dada por qs(X)=20P(X)
a) Encontrar la función de demanda y la función de oferta en el mercado de X.

Qd(px) = 10.000*qd(px) = 10.000*(12-px) = 120.000 - 10.000px

Qs(px) = 1.000*qs(px) = 1.000*(20px) = 20.000px

b) Representar en el sistema de coordenadas la curva de demanda y la curva de oferta del mercado para X y mostrar el punto de equilibrio.

FRONTERA POSIBILIDADES DE PRODUCCIÓN Y CO

Esta curva de pendiente negativa muestra las combinaciones que son alcanzables cuando se utilizan todos los recursos eficientemente.

La frontera de posibilidades de producción separa las combinaciones alcanzables, como A,B y Z, de las inalcanzables, como T. Tiene pendiente negativa porque los recursos son escasos: en una economía que utiliza todos sus recursos sólo se puede producir más de uno de los bienes si se trasladan los recursos y se deja de producir algo de otro bien.

Los puntos A y B representan usos eficientes de todos los recursos de la sociedad. El punto Z puede representar tanto el uso ineficiente de los recursos como dejar en desuso algunos de los recursos utilizables.

La frontera de posibilidades de producción ilustra 3 conceptos: escasez, elección y coste de oportunidad. La escasez está implicada en las combinaciones que no se pueden obtener porque están más allá de la frontera, la elección por la necesidad de elegir entre los posibles puntos de la frontera y el coste de oportunidad por la pendiente negativa de la curva.

El coste de oportunidad creciente. La frontera tiene pendiente creciente a medida que nos desplazamos a lo largo de ella de izquierda a derecha. Esta pendiente creciente representa un coste de oportunidad creciente a medida que se aumenta progresivamente la producción de cualquiera de los dos bienes. Consideremos que nos encontramos en el punto B, en este tramo la curva tiene mucha pendiente. Esto nos indica que, si todavía se quieren producir más bienes Q1, se tendrá que renunciar a una gran cantidad de bienes Q2.

Ejercicio 1. Considere una economía que se plantea la producción de 2 tipos de bienes Q1 y Q2 (por productos agrarios y manufacturados respectivamente). La tecnología y los recursos productivos disponibles son tales que el conjunto de posibilidades de producción viene determinado por la siguiente ecuación:

donde Q1 y Q2 representan las cantidades producidas de ambos bienes y "a" y "m" y "R" son variables exógenas asociadas a la tecnología y a los recursos productivos disponibles. En este contexto se pide:

a) Obtenga una función que exprese el coste de oportunidad del bien 1.

b) Represente gráficamente la Frontera de Posibilidades de Producción.